Hur räknar man period
•
Vi ska nu studera hur värdena på A, k, v och b i en trigonometrisk funktion på formen y = A sin(kx + v) + b påverkar utseendet på grafen.
A = amplituden
k påverkar perioden
Amplitud:
Om vi ändrar på konstanten A i funktionen y = A sinx ändrar vi amplituden hos kurvan.
Rita y = sinx och y = 2sinx i samma koordinatsystem.
Det största värdet för sinx är 1 och det minsta värdet är -1. Man säger då att sinx har amplituden 1, det vill säga y = 1· sinx där A = 1.
För y = 2 ·sinx gäller att det största värdet är 2 och minsta värdet är -2 och 2 sinx har amplituden 2, det vill säga A = 2.
Period:
O
•
Enhetscirkeln och perioder
I det förra avsnittet repeterade vi de grundläggande trigonometriska sambanden och såg att det för vissa vinkelstorlekar finns exakta trigonometriska värden. I Matte 3-kursen har vi tidigare stött på enhetscirkeln, som vi kan använda för att analysera sambanden mellan vinklar och trigonometriska värden.
Det här avsnittet innebär en repetition av enhetscirkeln och även en bekantskap med begreppet period, som kommer att återkomma mycket när vi har att göra med trigonometriska värden.
Enhetscirkeln
När vi tidigare studerade de grundläggande trigonometriska sambanden utgick vi från rätvinkliga trianglar, där storleken på de spetsiga vinklarna måste ligga i intervallet 0° ≤ v ≤ 90°. I och med användningen av enhetscirkeln har vi expanderat definitionerna av de trigonometriska sambanden till att gälla godtyckligt stora vinklar, till exempel vinklar som är större än 90° eller mindre än 0° (negativa vinkelstorlekar).
Enhetscirkeln är centrerad i origo (
•
Trigonometriska funktioner
Ursprungligen definierade vi sinus och cosinus utifrån en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel. I samband med att vi introducerade enhetscirkeln expanderade vi definitionen av sinus och cosinus så att vi nu hanterar godtyckligt stora vinklar.
I det här avsnittet ska vi bygga vidare på vad vi kommit fram till om sinus och cosinus för olika vinklar genom att börja titta på trigonometriska funktioner och deras egenskaper. Trigonometriska funktioner är mycket användbara för att beskriva till exempel periodiska fenomen och förekommer i många olika sammanhang.
Sinus- och cosinusfunktionerna
På samma sätt som vi tidigare har definierat funktioner med hjälp av oberoende och beroende variabler, kan vi nu introducera trigonometriska funktioner. Om vi låter \(x\) beteckna en oberoende variabel och \(y = f(x) \) en beroende variabel, kan vi skriva sinusfunktionen så här:
$$f(x)=\sin\,x$$
På motsvarande sätt kan vi skriva cosinusfunktionen så här:
$